In dieser Statik-Aufgabe geht es um einen Blaken, der an seinen Enden gelagert ist und durch ein Moment Belastet wird. Ziel der Aufgabe ist die Berechnung der Lagerkräfte, der Schnittreaktionen und die Darstellung vom Verlauf der Querkraft und Biegemoment in einem Diagramm.

Aufgabe 3 - Balken mit äußerem Moment

Gegeben:

M = 800 Nm
a = 8 m
b = 6 m

Gesucht:

F_A, F_B, Querkraftverlauf, Biegemonetenverlauf

Statisches System mit Belastung durch Moment

Lösung der Aufgabe

Das System dieser Aufgabe ist statisch bestimmt. Die Aufgabe kann somit eindeutig gelöst werden.
Wie man im Bild oben erkennt, sind die Lagerkräfte bereits eingezeichnet. Durch das Moment entstehen also die Lagerkräfte F_A und F_B. Diese beiden Lagerkräfte sind als erstes zu berechnen. Dazu stellen wir das Momentengleichgewicht auf:

∑M_A = 0 = M – F_B * a
F_B = M / a = 800Nm / 8m = 100N

∑M_B = 0 = M - F_A * a
F_A = M / a = 800Nm / 8m = 100N

Berechnung der inneren Kräfte (Schnittkräfte / Schnittreaktionen)

Im Bild oben sind bereits zwei Schnitte eingezeichnet, die je links und rechts vom angreifenden Moment liegen.

Berechnung der Normalkraft

Da keine weiteren äußeren Kräfte vorliegen, ist die Normalkraft gleich Null.

N(x) = 0

Berechnung der Querkraft

Es reicht die Betrachtung einer Seite eines jeden Schnitts.

Bereich I - links vom Schnitt:

Q(x) = - F_A = -100N

Bereich II - rechts vom Schnitt:

Q(x) = - F_B = -100N

Berechnung des Biegemoments

Es reicht die Betrachtung einer Seite eines jeden Schnitts.

Bereich I - links vom Schnitt:

M_b(x) = - (-F_A * x) = -100N * x
M_b(x=0) = - (-F_A * 0) = 0Nm
M_b(x=b) = - (-F_A * x) = 100N * 6m = 600Nm

Bereich II - rechts vom Schnitt:

M_b(x) = - F_B * (a-x) = -100N * (8m – x)
M_b(x=b) = -100N * (8m – 6m) = -200Nm
M_b(x=a) = -100N * (8m – 8m) = 0Nm

Darstellung des Querkraft- und Biegemomentenverlaufs

Es liegen nun alle notwendigen Werte vor, um den Querkraftverlauf und Biegemomentenverlauf darzustellen. Zur Veranschaulichung ist über den Verlaufskurven unten auch noch mal das statische System dargestellt.

Querkraftverlauf & Biegemomentenverlauf

Wir haben in den vorhergehenden Aufgaben einen Balken mit einer Einzellast und einer Streckenlast untersucht. In diesem Beispiel lag ein Moment vor. Im folgenden Statik-Beispiel werden wir es mit einem abgewinkelten Balken zu tun haben.