Der Spannungstensor

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Der Spannungstensor ist eine wichtige Größe der Kontinuumsmechanik (Festigkeitslehre der 2. Stufe). Er dient der Vereinfachung von Berechnungen und beschreibt den Spannungszustand eines angenommenen, kleinen und würfelförmig ausgebildeten Körperelements. Bei einem Spannungstensor handelt es sich um einen Tensor zweiter Stufe, welcher in der Lage ist, die mechanischen Spannungen an einem spezifischen Punkt innerhalb des Materials zu beschreiben.

Um den Spannungszustand* eines physikalischen Objektes zu beschreiben, sind insgesamt neun verschiedene Größen notwendig. Dabei wären demnach für jede Seite des angenommenen Würfels drei Kraftkomponenten anzugeben. Sofern der Würfel hinreichend klein ist, wirkt jedoch auf allen sich gegenüberliegenden Würfelseiten die jeweils gleiche Kraft. Dadurch wird es möglich, den Spannungszustand durch den Spannungstensor zu beschreiben. Der Spannungstensor wird dabei in Matrizenschreibweise* angegeben:

Spannungstensor, Spannungsmatrix

Spannungen an einem Würfelelement

 

Der Spannungstensor findet vor allem in der Physik, speziell in der klassischen Mechanik, Spannungsmechanik, Festkörperphysik und teilweise auch in der Geophysik und in der Elektrodynamik Anwendung.

Definition:
Sofern Materie geschnitten wird, übt der gedanklich (theoretisch) abgeschnittene Teil der Materie auf die noch vorhandene Materie eine bestimmte Spannung aus. Diese setzt sich aus einer Normalspannungskomponente, die rechtwinklig zur Schnittfläche wirkt und einer in der Schnittfläche wirkenden Schubspannungskomponente zusammen, was den Spannungsvektor ergibt. Schneiden sich nun drei solcher theoretischen Schnittflächen an einer definierten Stelle, können die drei Spannungsvektoren zu einem Spannungstensor zusammengefasst werden.

Spannungstensor Gleichung

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Hierbei bedeuten e1, e2 und e3 die drei Basisvektoren des Koordinatensystems. Das Produkt aus zwei Vektoren ist das sogenannte dyadische Produkt. Es ist üblich, den Spannungstensor in Matrizenschreibweise* anzugeben, was dann folgendermaßen aussieht:

Spannungstensor, Spannungsmatrix

Weil der Spannungstensor immer symmetrisch ist, besteht er nicht, wie ursprünglich notwendig, aus neun voneinander unabhängigen Größen, sondern lediglich aus sechs. Dadurch wird die seine Angabe als 6x1-Vektor möglich, was weitere Betrachtungen deutlich vereinfacht.

Spannungstensor, Spannungsmatrix vereinfacht