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Poissonzahl / Querkontraktionszahl - Begriffsdefinition

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In der Mechanik bzw. in der Festigkeitslehre definiert die Poissonzahl das Verhältnis aus einer relativen Änderung der Dicke zu einer relativen Änderung der Länge, sobald eine äußere Kraft bzw. Spannung auf ein bestimmtes Werkstück einwirkt. Weil die Poissonzahl der Berechnung der Querkontraktion dient, wird sie oft auch als Querkontraktionszahl, Querdehnzahl oder Querdehnungszahl bezeichnet. Die Poissonzahl bzw. Querkontraktionszahl trägt das Formelzeichen ʋ oder auch μ. Sie gehört zu den Materialkonstanten und trägt den Namen des Physikers Siméon Denis Poisson.

Querkontraktion berechnen bei einem Würfel / Stab

Beispiel: Ein Würfel mit definierter Seitenlänge L besteht aus einem isotropen linear-elastischen Material, welches die Querkontraktionszahl bzw. Poissonzahl 0,5 besitzt. In der grünen Darstellung wirkt keine statische Kraft* auf den Würfel. In der roten Darstellung wird jedoch der gleiche Würfel durch eine Zugkraft belastet. Diese ist in Richtung x angegeben. Diese Zugkraft bewirkt nun eine Dehnung des Würfels in Richtung x um die Länge ∆l, wobei es zugleich zu einer Kontraktionen in die Richtungen y und z herum kommt. Mit Hilfe der Poissonzahl kann man diese sogenannte Querkontration berechnen.

Demnach gilt:

Poissonzahl berechnen

ʋ - Poissonzahl / Querkontraktionszahl (dimensionslos)
d - Ursprungsdicke (m)
∆d - Dickenänderung (m)
l - Ursprungslänge (m)
∆l - Längenänderung (m)

Die Länge l bezeichnet dabei die Ursprungslänge und d die Ursprungsdicke. Sofern die Werte ∆d oder ∆l positiv sind, hat sich die jeweilige Abmessung vergrößert, negative Werte geben eine Verkleinerung an.

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Zusammenhang zwischen Poissonzahl, Schubmodul, Kompressionsmodul und E-Modul

Die Poissonzahl bzw. Querkontraktionszahl besitzt keine fest definierte Dimension. Vielmehr handelt es sich um eine Materialkonstante, die grundsätzlich vom Material des eingesetzten Werkstückes abhängt, wobei sich die elastischen Konstanten einander wechselseitig bedingen. Demnach gilt für isotrop linear-elastisches Material* zwischen dem Kompressionsmodul K, dem Schubmodul G und dem Elastizitätsmodul E folgender Zusammenhang:

 Poissonzahl berechnen

ʋ - Poissonzahl / Querkontraktionszahl (dimensionslos)
E - E-Modul (N/m2)
G - Schubmodul (N/m2)

Volumenänderung von Körpern mithilfe der Poissonzahl berechnen

Mithilfe der Poissonzahl (Querkontraktionszahl) lässt sich nun, unter Vernachlässigung der quadratischen Terme, die relative Volumenänderung (∆V/V), mit der ein Körper auf eine Dehnung in einer Achse reagiert (wie sie beispielsweise im Zugversuch stattfindet), berechnen.

Volumenänderung berechnen mit Poissonzahl

ʋ - Poissonzahl / Querkontraktionszahl (dimensionslos)
V - Ursprungsvolumen (m3)
ΔV - Volumenänderung (m3)
l - Ursprungslänge (m)
∆l - Längenänderung (m)

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