Dieses Statik-Skript zum Thema „Statik des Balkens“ zeigt wie man Lagerkräfte berechnen kann.

Begriffsklärung – Balken

In der Statik* versteht man unter dem Begriff Balken ein stabförmiges Tragglied, das längs und quer zu seiner Achse mit Kräften und Momenten belastet werden kann. In den folgenden Statik-Skripten wird der Balken stets als starr betrachtet, was bedeutet, dass er nicht Verformt werden kann.

Berechnung der Lagerkräfte

Um die Berechnung der Lagerkräfte bei Balkenaufgaben zu veranschaulichen, dient uns hier ein Beispiel.
In diesem Beispiel liegt ein Balken vor, der durch die Einzellast F belastet wird (siehe Bild unten). Der Balken liegt auf zwei Stützgelenken. Das linke Stützgelenk ist verschiebbar, das rechte ist fest – somit ist das System statisch bestimmt.

Beispiel – Berechnung von Lagerkräften bei Balken

Gegeben ist:
F, a, b

Gesucht wird:
F_Ay, F_By, F_Bx

Die Lösung erfolgt über die Gleichgewichtsbedingungen, also dem Kräftegleichgewicht in x- sowie in y-Richtung. Um die notwendigen Gleichungen aufstellen zu können muss als erstes die Kraft F in ihre x- und y-Komponenten (F_x und F_y) zerlegt werden.

Kräftegleichgewicht in x-Richtung
∑F_x = 0 = F_x - F_Bx     =>     F_Bx = F_x

Kräftegleichgewicht in y-Richtung
∑F_y = 0 = F_Ay + F_By - F_y     =>     F_Ay = F_y - F_By

Da die Gleichung für das Kräftegleichgewicht in y-Richtung zwei unbekannte enthält, muss eine zweite Gleichung für die Lösung der Aufgabe aufgestellt werden.
Als zweite Gleichung wird das Momentengleichgewicht herangezogen.

Momentengleichgewicht

Für die Aufstellung des Momentengleichgewichts werden alle Momente herangezogen, die auf das Stützlager A einwirken.

∑M_A = 0 = F_Bx*0 + F_Ay*0 + F_By*(a+b) - F_y*a     
=>     F_By*(a+b) = F_y*a     =>     F_By = F_y * a/(a+b)

Durch Einsetzen ergibt sich:
F_Ay = F_y - F_y * a/(a+b) = F_y * [1 – a/(a+b)] = F_y * [(a+b)/(a+b) – a/(a+b)] =
=> F_Ay = F_y * [b/(a+b)]

=> F_By = F_y * [a/(a+b)]