In diesem Artikel des Mechanik-Skripts geht es um das Hauptträgheitsmoment. Der Artikel gehört somit in den Bereich Physik bzw. Mechanik. Hier erfahren Sie, wie man das Hauptträgheitsmoment berechnen kann und was unter dem Begriff zu verstehen ist.

Definition Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, auch Inertialmoment oder Masseträgheitsmoment genannt, spiegelt eine physikalische Größe der klassischen Mechanik, genauer der Kinetik, wider. Das Ergebnis dieser Berechnung definiert den Widerstand eines festen Körpers gegenüber seiner Rotationsänderung.

Die Berechnung des Trägheitsmomentes J eines regelmäßig geformten Körpers erfolgt mit folgender Formel:

m – Masse [kg]
r – Abstände von der Drehachse [m]

In der Praxis ist es oft üblich, das Trägheitsmoment nicht zu berechnen, sondern mit relativ hoher Genauigkeit experimentell zu bestimmen.

Definition Hauptträgheitsmoment

Wird nun ein unregelmäßig geformter Körper betrachtet, um eine Achse rotiert, so verändert sich dessen Trägheitsmoment in Abhängigkeit von der Lage dieser Achse. Es existieren dann im Grunde genommen zwei Achsen, an denen jeweils ein minimales bzw. ein maximales Trägheitsmoment anliegt. Diese zwei Achsen stehen stets senkrecht zueinander. Darüber hinaus gibt es noch eine dritte, senkrecht auf den beiden ersten beiden stehende, Achse. Diese drei Achsen werden als die Hauptträgheitsachsen des unregelmäßigen Körpers bezeichnet.

Die Hauptträgheitsachsen sind mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers identisch. Besitzen zwei Hauptträgheitsmomente den gleichen Wert, so sind alle Drehachsen, die auf der Ebene liegen, welche diese zwei Hauptträgheitsachsen bilden, ebenfalls Hauptträgheitsachsen. Sie weisen zudem das gleiche Trägheitsmoment auf. Diese gilt somit nicht nur bei zylindersymmetrischen Körpern, sondern auch bei Stäben mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche.

Wenn sämtliche Hauptträgheitsmomente den selben Wert aufweisen, dann ist jede Drehachse durch, die durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft, eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. In diese Kategorie fallen zum Beispiel Körper wie eine Kugel, gleichseitige Tetraeder, Würfel, usw.

Hauptträgheitsmoment berechnen

Formelsammlung - Hauptträgheitsmoment einfacher geometrischer Körper

Falls es nicht ausdrücklich anders angegeben wird, befindet sich der Schwerpunkt des unregelmäßigen geometrischen Körpers auf der Drehachse, auf die sich das Hauptträgheitsmoment bezieht. Die Drehachsen, die durch einen Körper verlaufen, werden in den drei Raumrichtungen als Hauptträgheitsachsen, die zugehörigen Trägheitsmomente als Hauptträgheitsmomente definiert.

Im Folgenden finden Sie eine Formelsammlung mit einigen Formeln zur Berechnung von Hauptträgheitsmomenten von Körpern, die sehr häufig anzutreffen sind.

	Eine Punktmasse rotiert im Abstand r um eine Drehachse.
	Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert, für eine Wandstärke d<<r
	Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.
	Ein Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.
	Ein Vollzylinder, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.
	Ein Zylindermantel, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.
	Ein dünner Stab, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit r << l.
	Dünner Stab, der um eine Querachse durch ein Ende rotiert => Anwendung des Satzes von Steiner.
	Eine Kugelschale, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke d << r.
	Eine massive Kugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert.
	Eine Hohlkugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert.
	Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten liegt.
	Ein massiver Kegel, der um seine Achse rotiert.
	Ein Kegelmantel, der um seine Achse rotiert. Die Gleichheit mit dem Trägheitsmoment eines Vollzylinders kann man sich so vorstellen, dass man jeden Kegelmantel zu einer Kreisscheibe „plattdrücken“ kann, ohne sein Trägheitsmoment zu verändern.