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Satz von Steiner - Das Trägheitsmoment mit dem Satz von Steiner berechnen

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Der Satz von Steiner (auch Steinersche Satz, Steiner-Regel oder Parallelachsen-Theorem) dient zur Berechnung des Trägheitsmomentes eines starren Körpers, dessen Drehachse parallel verschoben wurde. Das bedeutet, dass die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) des Körpers verläuft, sondern eben parallel zur Schwerachse verschoben ist.

Durch die Verschiebung weg vom Schwerpunkt verändert sich das Trägheitsmoment eines Körpers und man muss es somit – mit Hilfe des Satz von Steiner – berechnen. Wenn jedoch das Trägheitsmoment durch eine Drehachse bekannt ist, kann man es für alle Drehachsen berechnen, die parallel zu dieser sind.

Der Satz von Steiner wird außerdem auch verwendet, um das Flächenträgheitsmoment und das Widerstandsmoment eines Balken-Querschnitts zu bestimmen.

 Satz von Steiner - Trägheitsmoment berechnen
Körper, der um eine Achse 2 rotiert, die nicht seiner Schwerachse 1 entspricht
 

Das Trägheitsmoment mit dem Satz von Steiner berechnen

Wie man das Trägheitsmoment für die Hauptachsen (Schwerachsen) berechnet, kann man für einfache Körper zumeist einer Tabelle entnehmen. Das Trägheitsmoment einer hierzu parallelen Achse kann man - wie schon geschrieben - mit Hilfe des Satzes von Steiner berechnen. Dies ist bei bekanntem Hauptträgheitsmoment relativ einfach.

Der Satz von Steiner lautet wie folgt:

Satz von Steiner

J1 - Trägheitsmoment des Körpers auf Drehachse 1 (= Schwerachse = Achse, auf der sich der Schwerpunkt des Körpers befindet) [kg m2]
J2 - Trägheitsmoment des Körpers auf Drehachse 2 [kg m2]
md2 – Steinersche Anteil [kg m2]
m – Masse des Körpers [kg]
d – Abstand zwischen Drehachse 1 und Drehachse 2 [m]

Das Produkt aus der Masse des Körpers und dem Abstand der beiden Drehachsen (m*d2) wird auch als der Steinersche Anteil bezeichnet. Um diesen Wert erhöht sich das Trägheitsmoment, wenn der Körper nicht um seine Schwerachse rotiert.

Im Bezug auf das Trägheitsmoment und den Steinerschen Satze gilt es zwei Dinge zu beachten:

  1. Das Trägheitsmoment von einem Körper ist dann am geringsten, wenn die Drehachse durch seinen Schwerpunkt verläuft. Daher ist der Steinersche Anteil stets positiv, wenn man eine Parallelverschiebung der Drehachse weg vom Schwerpunkt durchführt.
  2. Durch mehrmalige Anwendung des Steinerschen Satzes kann das Trägheitsmoment immer wieder zu einer beliebigen parallelen Achse berechnet werden. Dies funktioniert auch dann, wenn das zu Beginn gegebene Trägheitsmoment nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft.
    Beachten muss man hier nur, ob die neue Achse näher am Schwerpunkt des Körpers liegt, oder sich davon entfernt hat.

Sie sehen, auch wenn das Thema Vielen immer wieder Bauchschmerzen bereitet, ist es eigentlich nicht schwierig den Satz von Steiner zu berechnen bzw. ihn anzuwenden.

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