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Hebelgesetz - Das Drehmoment berechnen

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In diesem Artikel wird beschrieben wie man das Drehmoment berechnen kann. Grundlage für die Berechnung ist das Hebelgesetzt. Daher soll zunächst beschrieben werden, was man unter dem Begriff „Hebel“ in der Physik versteht.

Hebel

Das Hebelgesetz wurde erstmals von Archimedes in der Schrift "Über das Gleichgewicht ebener Flächen" formuliert. Damit schuf er eine wichtige theoretische Grundlage für die Entwicklungen der modernen Mechanik. In der Praxis dienen Hebel dazu, an einem Drehpunkt mit verhältnismäßig geringer Kraft eine große Wirkung zu erzielen. Gute Beispiele für Hebel sind Flaschenöffner, Brechstangen, Schraubenschlüssel oder Apothekerwaagen.

Das Hebelgesetz besagt, dass die Krafteinwirkung am Drehpunkt umso größer ausfällt, je länger der Hebel ist. Hebel sind einfache Maschinen, wobei Techniker zwischen ein- und zweiarmigen Hebeln unterscheiden. Während Kraft und Last beim einarmigen Hebel auf der gleichen Seite der Verankerung wirken, greifen die beiden Wirkungen beim zweiarmigen Hebel auf unterschiedlichen Seiten an. Der Flaschenöffner ist demnach ein einarmiger, die Apothekerwaage ein zweiarmiger Hebel.

Hebelgesetz & Drehmoment berechnen
Die Elemente des Hebelgesetzes

Drehmoment

Sobald ein Hebel durch eine definierte Kraft an einem Ende bewegt wird, erzeugt er am Drehpunkt eine messbare Kraft. Diese erzielte Kraft wird in der Technik als Drehmoment bezeichnet. Das Drehmoment kann man berechnen, wobei die Angabe in Newtonmeter erfolgt. 1 Nm ist genau das Drehmoment welches vorliegt, wenn 1 N Kraft mit einem Hebel von 1 m Länge auf einen Körper an seinem Drehpunkt einwirkt.

SI-Einheit - Drehmoment

Drehmoment Formelzeichen: M
SI-Einheit: Nm (Newtonmeter)

Hebelgesetz & Drehmoment berechnen
Drehmoment an einem Stab durch die Kraft F

Das Drehmoment berechnen

Um für den jeweiligen Praxisfall das erforderliche Drehmoment genau berechnen zu können, müssen die Hebellänge und die aufzuwendende Kraft rechnerisch in Beziehung gesetzt werden. Umgangssprachlich wird das Drehmoment oft auch als Drehkraft bezeichnet. Mit folgender Formel lässt sich die Drehkraft bzw. das Drehmoment berechnen:

Berechnung Drehmoment

M - Drehmoment [Nm, Newtonmeter]
r - Hebelarm [m, Metern]
F - Kraft [N, Newton]

Die Größe des Drehmomentes M wird beispielsweise benötigt, um Schrauben korrekt anzuziehen oder wieder zu lösen. Anhand der Formel lässt sich bereits erkennen, dass weniger Kraft für die Erzeugung eines bestimmten Drehmomentes notwendig wird, je länger der Hebel ist.

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Abgrenzung Drehmoment und mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit W und Drehmoment M dürfen nicht miteinander verwechselt werden. Es ist auch nicht erlaubt, das Drehmoment zu berechnen und den Wert dann in mechanische Arbeit umzurechnen. Während für mechanische Arbeit neben Nm zusätzlich die Einheit J (Joule) verwendet werden darf, gilt für das Drehmoment ausschließlich Nm (Newtonmeter). Diese Regel gilt deshalb, weil die Kraft und der Weg, aus der die mechanische Arbeit berechnet wird, parallel zueinander verlaufen. Um das Drehmoment zu berechnen, folgt man hingegen stets dem Hebelgesetz, bei dem die Kraft und der Hebelarm senkrecht aufeinanderstehen.

Gleichgewicht beim Drehmoment berechnen

Laut Hebelgesetz befindet sich ein Hebel immer dann im Gleichgewicht, wenn M1 (linksdrehendes Drehmoment) gleich M2 (rechtsdrehendes Drehmoment) ist.

Gleichgewicht Drehmoment

Das Hebelgesetz besagt auch, dass sich ein Hebel immer dann im Gleichgewicht befindet, wenn alle anliegenden Drehmomente Null ergeben.

Gleichgewicht Drehmomente

Einseitige und zweiseitige Hebel

Einseitiger Hebel:

Hier wirken die Kräfte vom Drehpunkt aus betrachtet auf der gleichen Seite.

Hebelgesetz beim einseitigen Hebel

Abbildung einseitiger Hebel: Kraft F1 bewirkt ein rechtsdrehendes Drehmoment (M1), F2 ein linksdrehendes Drehmoment (M2)

Zweiseitiger Hebel:

Hier wirken die Kräfte auf unterschiedlichen Seiten des Drehpunktes.

Hebelgesetz beim zweiseitigen Hebel

Abbildung zweiseitiger Hebel: Kraft F1 ist ein linksdrehendes Drehmoment (M1), welches Kraft F2, ein rechtsdrehendes Drehmoment (M2) verursacht

Vorzeichenregelung für Momente

Bei der Berechnung eines Drehmoments gilt es auch auf das korrekte Vorzeichen zu achten. Es gibt eine Regel, nach der ein Drehmoment entweder ein positives oder ein negatives Vorzeichen erhält. Es ist auch die Rede von einem positiv bzw. negativ gerichteten Moment.

Drehmoment Vorzeichenregel
Vorzeichenregelung für Drehmomente

Die Vorzeichenregel bei Drehmomenten lautet:

- Bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn => positives Moment
- Bei Drehung im Uhrzeigersinn => negatives Moment

Die Vorzeichenregelung für Momente ist in der Grafik oben  nochmal veranschaulicht.

Beispiel / Aufgabe - Hebelgesetz

Zur Veranschaulichung der Berechnung von Hebelkräften und Drehmoment, wollen wir nun eine kleine Aufgabe rechnen. In dem Beispiel liegt ein Balken mit zwei angreifenden Kräften vor, wie in der Grafik unten zu sehen ist.

Aufgabe - Moment
Übungsaufgabe – Moment & Gleichgewicht

Es ergibt sich die Formel:

Drehmoment berechnen

Folgende Werte sind gegeben:
L1 = 1m
L2 = 3m
F2 = 10N

Gesucht wird: F1

Das System befindet sich im Gleichgewicht, was bedeutet, dass die Summe der Drehmomente auf der Drehachse gleich 0 sein muss. Damit ergibt sich die Formel wie folgt:

Hebelgesetz - Momentengleichgewicht berechnen

Daraus folgt:

Berechnung Drehmoment - Hebelgesetz

Diese Aufgabe stellt selbstverständlich lediglich eine kleine Herausforderung dar und dient hauptsächlich zum Verständnis darüber wie Kraft, Hebel und Drehmoment zusammenwirken. Mit Basiswissen aus diesem Tutorial sollte das Berechnen von Hebel und Drehmoment einfach und  verständlich sein.

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