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Das Widerstandsmoment

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In der Lehre der Technik und Mechanik* ist das Widerstandsmoment das gebräuchliche Maß, mit dem der Widerstand bestimmt wird, der von einem Körper bei bekanntem Querschnitt einer benennbaren Belastung entgegensetzt wird.

Im Ingenieurwesen* beispielsweise verwendet man das Widerstandsmoment, damit man von jeweiligen Bauteilen eine maximale Torsions- bzw. Biegebeanspruchbarkeit ermitteln kann, eben auch bei statischen Berechnungen der Träger gemäß Balkentheorie erster Ordnung. Widerstandsmomente häufig verwendeter Profile bzw. Profilquerschnittsgeometrien findet man in zugehörigen technischen Tabellen.
Bei der Verwendung in der Festigkeitsberechnung unterscheidet man außerdem das axiale und polare Widerstandsmoment.

Unterschied zwischen axialem und polarem Widerstandsmoment

axiales Widerstandsmoment:
Das Maß für einen Widerstand gegen eine Biegung heißt axiales Widerstandsmoment oder auch Biegewiderstandsmoment. Es wird verwendet, um die mechanischen Spannungen bei einer Biegebelastung zu berechnen.

polares Widerstandsmoment:
Das Maß für einen Widerstand gegen eine Torsion heißt das polare Widerstandsmoment oder auch das Torsionswiderstandsmoment. Es wird verwendet, um die mechanischen Spannungen (Schubspannungen) bei einer Torsionsbelastung zu berechnen.

Grundlagen - Widerstandsmoment in der Mechanik

Wenn Kräfte zu einer Bezugsachse senkrecht wirken, wollen diese Kräfte den belasteten Körper um diese Achse drehen, wenn eine Hebelwirkung möglich wird. Ein Torsions- oder Biegemoment entsteht immer dann, wenn durch eine Einspannung eine Drehung verhindert wird. Der Bezug zur Berechnung von Widerstandsmomenten ist immer die jeweils angelegte Momentenachse.

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Berechnung des Widerstandsmoments aus dem Flächenträgheitsmoment

Die Geometrie der jeweiligen Querschnittfläche bestimmt alleine die Höhe des Widerstandmoments. Bekannt sein müssen zu dessen Berechnung die neutrale Faser und ihre Lage im Querschnitt. In dieser gedachten Linie entstehen bei einer reinen Biegung keine Zug- und Druckspannungen.
Es muss von dieser Linie aus der größtmögliche senkrechte Abstand zum Rand (Randfaser) des Querschnitts ermittelt werden, wo das Auftreten der gesuchten höchsten Bauteilbelastungen / Spannungen erwartet werden.

Siehe hierzu auch folgenden weiterführenden Link: Berechnung der Biegung

Der Quotient aus Flächenträgheitsmoment und gemessenem Abstand von Randfaser zur spannungsfreien neutralen Faser (amax) ist das Widerstandsmoment.

Berechnung Widerstandsmoment

I: axiales, biaxiales oder polares Flächenmoment 2. Grades (Flächenträgheitsmoment)
amax: größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser

Ist ein Querschnitt symmetrisch, sind in den Randfasern, die parallel zur Symmetrieachse liegen, die Widerstandsmomente gleich. Wirken senkrecht zur Symmetrieachse Biegekräfte, sind aus dem gleichen Grund in solchen Fasern die Spannungen gleich.

Berechnung von Spannungen über das Widerstandsmoment

Um die maximal auftretenden Spannungen in Randfasern bei Momenten um eine Bezugsachse zu ermitteln, nutzt man die folgende Formeln:

 Widerstandsmoment berechnenWiderstandsmoment berechnen

Spannung durch Biegemoment berechnen

Zur Berechnung der Spannungen, die durch ein Biegemoment verursacht werden, verwendet man das axiale Widerstandsmoment.
Zur Berechnung des axialen Widerstandsmoments muss man immer darauf achten das passende Flächenträgheitsmoment zu verwenden, wie wir zuvor bereits erörtert haben.

Widerstandsmoment berechnen

σmax – Maximale Normalspannung
Mb – Biegemoment
Wax – axiales Widerstandsmoment

Spannung durch Torsionsmoment berechnen

Zur Berechnung der Torsionsspannungen verwendet man das polare Widerstandsmoment.
Zur Berechnung des axialen Widerstandsmoments muss man immer darauf achten das passende Flächenträgheitsmoment zu verwenden, wie wir zuvor bereits erörtert haben. Folgende Formel* wird verwendet:

Widerstandsmoment berechnen

τmax – Tangentialspannung (Schubspannung)
Mt – Torsionsmoment
Wp – polares Widerstandsmoment

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