Balken mit Streckenlast

In der zweiten Aufgabe zum Thema Statik* des Balkens & Schnittreaktionen liegt ein Balken mit einer inkonstanten Streckenlast vor. Der Balken ist an seiner linken Seite fest eingespannt. Das Bild unten zeigt das statische System.

Statik-Aufgabe – Balken mit Streckenlast

Gegeben ist:

q(σ) = q₀ * (1 - σ/a)
q₀ = 20 N/cm
a = 1000 mm

Gesucht ist:

N(x), Q(x), M_b(x)

Lösung der Aufgabe:

Das System, das in dieser Aufgabe vorliegt, ist statisch bestimmt. Somit kann die Aufgabe eindeutig gelöst werden.

Um die gesuchten inneren Kräfte berechnen zu können, müssen zuerst die Lagerkräfte, also die äußeren Kräfte, ermittelt werden:

F_A = 1/2 * q₀ * a = 1/2 * 20N/cm * 1000mm = 1000N

M_A = 1/6 * q₀ * a² = 1/6 * 20N/cm * (1000mm)² = 333,33Nm

Aus den errechneten äußeren Kräften können nun die Schnittreaktionen ermittelt werden.
Die Normalkraft, die in Richtung der Balkenachse verläuft, kann am einfachsten ermittelt werden, da keine äußere Kraft existiert, die in x-Richtung wirkt. Die Normalkraft ist somit gleich 0.

Normalkraft berechnen:

N(x) = 0

Zur Berechnung der anderen inneren Kräfte wird der Balken an der Stelle x geschnitten (wie im Bild oben dargestellt ist).

Querkraft berechnen:

links vom Schnitt:

Da alle Variablen bekannt sind, kann man nun die Werte einsetzen. Für x können beliebig Werte von x=0 bis x=a eingesetzt werden, um daraus den Querkraftverlauf darzustellen. Da die Betrachtung der rechten Seite des Schnitts die gleichen Werte herausbringen muss, können wir uns diesen Teil der Berechnung sparen.

Q(x=0) = 20N/cm [0 - 0²/(2a)] - 1000N = -1000N

Q(x=a/2) = 20N/cm [a/2 - (a/2)²/(2a)] - 1000N =
= 2N/mm [1000mm/2 - (1000mm/2)²/(2*1000mm)] - 1000N = -250N

Q(x=a) = 20N/cm [a - a²/(2a)] - 1000N = 0N

Durch das Einsetzen verschiedener Werte ergibt sich in etwa dieser Querkraftverlauf:

Querkraftverlauf

Es lässt sich die folgende generell gültige Formel ableiten:

q = - dQ(x) / dx

Biegemoment berechnen:

links vom Schnitt:

Den Verlauf des Biegemoments über die Länge des Balkens, kann man wieder durch einsetzen der x-Werte berechnen.

M_b(x=0) = - MA = -1/6 * q0 * a² = -1/6 * 20N/cm * (1000mm)² = -333,33Nm

Das Ergebnis für M_b an der Stelle x=0 war vorhersehbar, da das Biegemoment hier der Lagerkraft M_A entspricht.

M_b(x=a/2) = -333,33Nm + 1000N*a/2 - 2N/mm*a²*(1/4 * a²/a² - 1/12 * a³/a³) =
= -333,33Nm + 1000N*500mm - 2N/mm * (1000mm)² * 2/12 = -166,66Nm

M_b(x=a) = -333,33Nm + 1000N*a - 2N/mm*a²*(1/2 * a²/a² - 1/6 * a³/a³) =
= -333,33Nm +1000N*10000mm - 2N/mm*(1000mm)²*2/6 = 0Nm

Durch das Einsetzen verschiedener Werte ergibt sich in etwa dieser Biegemomentenverlauf:

 
Biegemomentenverlauf

Es lassen sich die folgende generell gültigen Formeln ableiten:

q(x) = - d²M_b(x) / dx²

Q(x) = dM_b(x) / dx

In der folgenden Aufgabe* wird es um einen Balken mit äußeren Momenten gehen, bei dem es ebenfalls darum geht die inneren Kräfte zu berechnen (siehe Gesamtübersicht des Statik-Skripts).