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Das Trägheitsmoment: Spezial- und Sonderfälle berechnen

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In diesem Artikel werden Spezialfälle / Sonderfälle für das Trägheitsmoment beschrieben. Es wird dabei Beschrieben, was die Besonderheiten jedes einzelnen Spezialfalls sind und wie die Berechnung des Trägheitsmoments in jedem der Sonderfälle funktioniert. Dieser Artikel gehört zum Bereich Physik / Mechanik.

Das Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, oft auch Massenträgheitsmoment genannt, gehört zu den physikalischen Größen der klassischen Mechanik. Es beschreibt den Widerstand, den ein starrer Körper einer Änderung seiner Rotationsbewegung entgegensetzt. Neben den klassischen Formen des Trägheitsmomentes existieren verschiedene Spezialfälle, für die eine vereinfachte Berechnungsweise gilt.

Allgemeine Formel zur Berechnung des Trägheitsmomentes:

Bei bekannter Massenverteilung eines Körpers errechnet sich aus folgendem Volumenintegral das Massenträgheitsmoment J:

Allgemeine Formel - Massenträgheitsmoment berechnen

Formeln für die wichtigsten Sonderfälle des Trägheitsmomentes

1. Trägheitsmoment bei gleichmäßige Massenverteilung

Bei der gleichmäßigen (homogenen) Massenverteilung ist die Dichte innerhalb eines physikalischen Körpers an jedem Punkt konstant. Deshalb ist es bei der Berechnung dieser Spezialfälle erlaubt, die Dichte vor das Integral zu setzen. Die Formel für Körper mit homogener Dichte vereinfacht sich somit folgendermaßen:

Trägheitsmoment bei gleichmäßiger Massenverteilung berechnen

2. Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper

Ein rotationssymmetrischer Körper rotiert um seine eigene Symmetrieachse z. Deshalb lässt sich das Trägheitsmoment für diese Sonderfälle vereinfacht anhand von Zylinderkoordinaten berechnen. Voraussetzung dafür ist, dass entweder der Radius als Funktion der z-Koordinate oder die Höhe als Funktion des Radius bekannt ist.

Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper berechnen

Die jeweilige Integration lässt sich damit vereinfacht ausführen. Die Formel lautet:

Berechnung Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper 
bzw.
   Massenträgheitsmoment rotationssymmetrischer Körper berechnen

Beispiel – Zylinder:

Trägheitsmoment Zylinder
Beispiel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Zylinders bei Rotation um seine Längsachse

3. Trägheitsmoment bei zueinander parallelen Achsen - Satz von Steiner

Diese Spezialfälle sind dadurch gekennzeichnet, dass jeweils die Drehachse 2 in Bezug auf die durch den Körperschwerpunkt verlaufende Drehachse 1 um einen bestimmten Abstand d verschoben ist.

Satz von Steiner - Trägheitsmoment Spezialfall
Das Trägheitsmoment bei Parallelverschiebung der Rotationsachse

Sofern das Trägheitsmoment J1 für die Achse, die durch den Körperschwerpunkt verläuft, bekannt ist, lässt sich das Trägheitsmoment J2 für jede andere beliebige, parallel verschobene Drehachse berechnen. Grundlage dieser vereinfachten Berechnung ist der Steinersche Satz. Es gilt folgende Formel:

Sonderfall Träheitsmoment - Satz von Steiner

Der Abstand der parallel verschobenen Drehachse zur Schwerpunktachse ist d.

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2009 Maschinenbau-Wissen.de
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