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Biegung – Arten der Biegung & Biegetheorien

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Die Biegung ist eine Belastungsart, die in der technischen Mechanik besonders stark durchleuchtet wird, da sie besonders häufig auftritt. Betrachtet werden dabei schlanke Bauteile (Balken oder Bögen) oder dünne Bauteile (Schalen oder Platten).
Die Bezeichnung Biegung bzw. Biegebelastung ist dabei selbsterklärend. Es werden jedoch verschiedene Arten der Biegung unterschieden, die im Folgenden näher erläutert werden. Besonders wichtig bei der Berechnung der Biegung ist die Geometrieveränderung des Biegeträgers (z.B. Durchbiegung, Krümmung).

Zur Berechnung der Biegung und Biegebelastung wird das ursprüngliche 3D-Problem, auf einen 1D- oder auch 2D-Raum vereinfacht. Hierdurch gelingt eine näherungsweise realistische Berechnung. Die unterschiedlichen Theorien betrachten Balken oder Bögen als 1D-Körper oder Schalen und Platten als 2D-Körper. Eine nähere Beschreibung dieser Theorien findet man in diesem Skript weiter unten.

Arten der Biegung

Unterscheidung nach der Art der Belastung

Es werden zwei unterschiedliche Arten der Biegung anhand der Art der Belastung differenziert:

a) Die reine Biegung = Querkraftfreie Biegung
Hier entsteht die Biegung durch das Aufbringen zweier Biegemomente an den Enden eines Körpers / Balkens.

b) Die Querkraft-Biegung
Hier entsteht die Biegebelastung durch Kräfte, die als Querkraft auf den Balken drücken. Hier liegt neben dem entstehenden Biegemoment zusätzlich eine Querkraft vor, mit der der Biegeträger zusätzlich belastet wird. Durch sie entstehen Schubspannungen im Balken. Diese Querkraft darf bei der Berechnung nicht vergessen werden.

Reine Biegung & Querkraft-Biegung
 

Unterscheidung nach dem Wirkpunkt der Belastung

Zusätzlich wird zwischen folgenden beiden Arten der Biegung unterschieden:

a) Gerade Biegung:
Biegung eines Biegeträgers / Balkens in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes. Der Balken hat ein symmetrisches Profil und die Belastung erfolgt entlang einer Hauptachse des Querschnitts. Diese Biegebelastung wird als gerade Biegung bezeichnet.

b) Schiefe Biegung:
Biegung eines Biegeträgers / Balkens in eine von den Hauptachsen abweichende Richtung. Oder Biegung eines Biegeträgers / Balkens mit unsymmetrischem Querschnittsprofil.
Aus dieser Art der Biegung folgt ein zusätzliches Biegemoment in einer anderen Achse (=> My und Mz). Diese Art der Biegebelastung wird als schiefe Biegung bezeichnet.

Entstehung von Spannungen bei Biegung

Das besondere bei der Biegebelastung ist, dass hieraus sowohl Zug- als auch Druckspannungen im Biegeträger entstehen.

Zum Verständnis betrachte man hierzu einen Stab, der auf Biegung beansprucht wird. Der Stab wird nach oben gebogen, so dass er sich (in einer übertriebenen Darstellung) U-förmig verformt. Man erkennt dabei, dass der Stab an der Unterseite gedehnt wird, während er an der Oberseite gestaucht bzw. zusammengedrückt wird. Hierdurch entstehen also an der Unterseite Zugspannungen, während an der Oberseite Druckspannungen auftreten.

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Verlauf von Zug- und Druckspannungen bei Biegung & die Neutrale Faser

Der Übergang von der Zug- zu Druckspannungen im Balken erfolgt jedoch nicht abrupt. Vielmehr hat man einen fließenden Übergang. Die Zug- als auch die Druckspannungen sind jeweils in den äußeren Bereichen am höchsten. Sie fallen nach innen linear ab und fallen in einer bestimmen Fläche sogar auf einen Wert von 0 (gilt für gerade Biegung). Hier ist der Übergang von Zug- auf Druckspannung. Diese Ebene, in der Zugspannung und Druckspannung gleich 0 sind, wird auch Neutrale Faser bezeichnet.

Die Neutrale Faser

Die Neutrale Faser ist also eine spannungsfrei Fläche innerhalb eines Biegeträgers. Sie trennt die Regionen innerhalb des Biegträgers, die jeweils mit Zugspannung und Druckspannung beansprucht sind.
An den Stellen, die am weitesten von der spannungsfreien Ebene (der neutralen Faser) entfernt sind, ist die Zug- bzw. Druckspannung am höchsten.

Biegung

Theorien zur Berechnung der Biegung

Welche 1D- oder 2D-Biegetheorie zur Berechnung am besten eingesetzt wird hängt davon ab, ob die Biegung klein, moderat oder groß ist im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen des Balkens / Bogens bzw. der Dicke bei Schalen und Platten.
Die bekannteste Biegetheorie ist die Balkentheorie nach Bernoulli – Bernoulli-Balken. Daneben gibt es noch die Plattentheorie nach Kirchhoff und die Plattentheorie nach von Kármán. Diese Biegetheorien werden wie folgt verwendet:

Zusammenfassung der verschiedenen Balkentheorien

  • Bernoulli-Balken 
    = 1D-Biegetheorie => Durchbiegungen der ursprünglich geraden Mittellinie ist klein gegenüber den Querschnittsabmessungen
  • Plattentheorie nach Kirchhoff
    = 2D-Biegetheorie => Durchbiegung der ursprünglich ebenen Mittelfläche ist klein gegenüber der Plattendicke
  • Plattentheorie nach von Kármán
    = 2D-Biegetheorie => Durchbiegung in gleicher Größenordnung wie die Plattendicke
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2009 Maschinenbau-Wissen.de
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