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Aufgabe - Schnittreaktionen Einzellast

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An dieser Stelle zeigen wir Ihnen ein Statik-Beispiel* für die Berechnung von Schnittreaktionen. In dieser Aufgabe geht es um einen Balken mit einer Einzellast. In der Übersicht des Statik-Skripts finden Sie außerdem weitere Aufgaben zum Thema Gleichgewicht und Schnittreaktionen.

Aufgabe 1 – Balken mit Einzellast

In der gegebenen Aufgabe liegt ein Balken vor, auf den eine Einzellast – also eine einzelne Kraft – wirkt. Ziel der Aufgabe ist die Berechnung der Schnittreaktionen, d.h. der inneren Kräfte. Das statische System ist unten abgebildet.

Gegeben sind:

F = 200 N
α = 60°
a = 4m
b = 3m
c = 1m

Gesucht sind:

Schnittkräfte N(x), Q(x), Mb(x)

Balken mit Einzellast
Balken mit Einzellast

Lösung der Aufgabe

Als erstes ist festzustellen, dass das betrachtete statische System statisch bestimmt ist.

Um die Aufgabe zu lösen wird erst die angreifende Kraft F in ihre x- und y-Komponenten aufgelöst.
Fx = F*cos(α) = 200N * cos(60°) = 100N
Fy = F*sin(α) = 200N * sin(60°) = 173,2N

Als Nächstes werden die anderen äußeren Kräfte berechnet – die Lagerkräfte:
FBx = Fx = 100N

us dem Momentengleichgewicht folgt:
FBy*a = Fy*b => FBy = Fy * b/a = 173,2N * 3m/4m = 129,9N
FAy*a = Fy*c => FAy = Fy * c/a = 173,2N * 1m/4m = 43,3N

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Innere Kräfte berechnen

Wie geschrieben geht es in der Aufgabe darum die inneren Kräfte im Balken zu berechnen. Interessant ist dabei vor allem, was auf der rechts und was links vom Angriffspunkt der Kraft passiert. Daher setzen wir zwei Schnitte je links und rechts von der Kraft F.

Durch die Schnitte entstehen zwei Bereiche:

Bereich I: 0 ≤ x ≤ b

Dies ist der Bereich links von der Kraft F. Die x-Koordinate kann Werte zwischen x=0 und x=b annhemen

Bereich II: b ≤ x ≤ a

Dies ist der Bereich rechts von der Kraft F. Die x-Koordinate kann Werte zwischen x=b und x=a annhemen.

Zur Berechnung der inneren Kräfte wird je ein Schnitt in den beiden Bereichen gemacht. Es wird im Folgenden bei jedem Schnitt jeweils das linke und rechte statische System betrachtet, dass bei dem Schnitt entstanden ist. Wir beginnen mit Bereich I:

Bereich I

links vom Schnitt:

N(x) = 0

Q(x) = -FAy = -43,3N

Mb(x) = -FAy * x

Mb(x=b) = -FAy * b = 43,3N * 3m = 129,9Nm


rechts vom Schnitt:

N(x) = +Fx + (-FBx) = Fx - FBx = 100N - 100N = 0

Q(x) =  + (-Fy) + FBy = FBy - Fy = 129,9N - 173,2N = -43,3N

Mb(x) = + [-Fy*(b-x)] + FBy*(a-x) = FBy*(a-x) - Fy*(b-x)

Mb(x=b) = FBy*(a-b) - Fy*(b-b) = 129,9N * (4m-3m) - 173,2N * (3m-3m) = 129,9Nm

Bereich II

links vom Schnitt:

N(x) = - (+Fx) = - Fx = -100N

Q(x) = - (+FAy) - (-Fy) = Fy - FAy = 173,2N - 43,3N = 129,9N

Mb(x) = - [+FAy*x – Fy*(x-b)] = Fy*(x-b) - FAy*x

Mb(x=b) = Fy*(b-b) - FAy*b = 173,2N*(3m-3m) - 43,3N*3m = 129,9Nm

rechts vom Schnitt:

N(x) = + (-FBx) = -FBx = -100N

Q(x) = +FBy = 129,9N

Mb(x) = + FBy*(a-x)

Mb(x=b) = + FBy*(a-b) = 129,9N*(4m-3m) = 129,9Nm

Grafische Darstellung der Inneren Kräfte

Nachdem wir die inneren Kräfte für Bereich I und II berechnet haben, können wir die Inneren Kräfte nun grafisch darstellen. Hierfür wollen wir die Ergebnisse unserer Berechnung noch mal zusammenfassen:

Normalkraft: Die Normalkraft im Bereich I (0 ≤ x ≤ b) ist Null, im Bereich II (b ≤ x ≤ a) beträgt die Normalkraft -100N.

Querkraft: Die Querkraft im Bereich I (0 ≤ x ≤ b) beträgt -43,3N, im Bereich II (b ≤ x ≤ a) +129,9N.

Biegemoment: Beim Biegemoment kann man von einem Verlauf (Biegemomentverlauf) sprechen. An der Stelle x=a nimmt das Biegemoment seinen Maximalwert von 129,9Nm an. An den beiden Enden des Balkens wird es zu 0.

Mit diesen Werten kann man nun die Schnittreaktionen grafisch darstellen - wie die Abbildung unten zeigt.

Kraft- und Biegemomentenverlauf
Kraft- und Biegemomentenverlauf

 

Weitere Statik-Aufgaben* finden Sie in den folgenden Skripten. Darin finden Sie auch weitere Beispiele für die grafische Darstellung des Kräfteverlaufs.

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