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Das hookesche Gesetz

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Das nach Robert Hooke benannte hookesche Gesetz dient der Beschreibung des elastischen Verhaltens von Festkörpern. Hier verhält sich die elastische Verformung einer Werkstoffprobe proportional zur der auf sie einwirkenden Belastung. Mit dem hookeschen Gesetz wird also das linear-elastische Verhalten von Festkörpern beschrieben. Ein solches Verhalten ist beispielsweise für Metalle bei geringen Belastungen typisch, ebenso für andere harte und spröde Stoffe wie Silizium, Glas oder Keramik.

Dabei stellt das hookesche Gesetz den linearen Sonderfall im Elastizitätsgesetz dar. In Zusammenhang mit Spannung und Verformung werden keine quadratischen und höheren Ordnungen berücksichtigt. Diese treten typischerweise bei duktilen (Metalle, deren Temperatur die Fließgrenze überschreitet), plastischen oder nicht-linear elastischen (Gummi) Verformungen auf.

Der eindimensionale Fall im hookeschen Gesetz

Bei einem prismatischer Körper mit einer Länge l0 und Querschnittsfläche A gilt daher bei einer einachsigen Druck- oder Zugbelastung an der x-Achse entlang:

Spannung in Abhängigkeit von der Dehnung

Spannung hookesches Gesetz

σx - Spannung in Belastungsrichtung
E - Elastizitätsmodul
εx - Dehnung in Belastungsrichtung

Die Proportionalitätskonstante E wird hierbei Elastizitätsmodul genannt, σ ist die vorliegende Spannung und ε die Dehnung (Verformung in Längsrichtung).

Die hookesche Gerade

Das hookesche Gesetz kann im Spannungs-Dehnungs-Diagramm nachgewiesen werden. Hier wird über einen Zugversuch die Dehnung einer Materialprobe in Abhängigkeit von der Spannung aufgezeichnet. Im daraus entstehenden Diagramm kann man eine gerade Linie erkennen, die aufweist, dass die Spannung und Dehnung im linearen Zusammenhang zueinander stehen – beide Größen verhalten sich proportional zueinander.
Die gerade Linie wird die hookesche Gerade genannt, da sie das hookesche Gesetz nachweist.

Wie man im Diagram erkennen kann, liegt dieses Materialverhalten nur bis zu einem bestimmten Spannungswert vor. Ab einem bestimmten Punkt – der Streckgrenze – verlässt der Werkstoff den Bereich, in dem das hookesche Gesetz gilt. Der Werkstoff verlässt damit den Bereich des elastischen Materialverhaltens und beginnt sich plastisch (irreversibel) zu verformen.

hookesche Gerade

Abbildung: Die hookesche Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm

 

Dehnung

Die Dehnung in x-Richtung beträgt:

Dehnung hookesches Gesetz

 

Spannung in Abhängigkeit von der Kraft

Die Spannung in x-Richtung beträgt:

Dehnung hookesches Gesetz

Zug-Kraft

Einsetzen führt zu dieser Formel

Zugkraft hookesches Gesetz

Wenn die einwirkende Kraft nahezu linear von der Ausdehnung oder Auslenkung abhängt, kann mit dem hookeschen Gesetz gearbeitet werden. Ein denkbarer Fall wäre für sehr kleine ∆l, ein anderer bei einem sehr großen Dehnungsbereich, wie er bei Druck- oder Zugfedern auftritt. Dieses stellt einen Sonderfall einer eindimensionalen, linear elastischen Verformung dar, bei dem die Proportionalitätskonstante als Federkonstante D bezeichnet wird. Der Zusammenhang der Längenänderung ∆l und der Federkraft F lässt sich auf diese einfache Form bringen:

Federkraft

Federkraft

Dehnt sich eine Feder durch eine auf sie einwirkende Kraft, handelt es sich um eine lineare Funktion dieser Kraft. Damit dehnt sich eine Feder bei einer Zugkraft von 2 N doppelt so weit wie bei einer Zugkraft von 1 N.

Vorsicht!

Die Beziehung σ = E · ε gilt nur für den  eindimensionalen Fall. Im allgemeinen 2D- oder 3D-Spannungszustand muss das Hookesche Gesetz in seiner allgemeinen Form angewendet werden. Hier stellt das hookesche Gesetz eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe) dar.

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